2013考研数学 无穷小的阶与应用

微积分还有一个名称,叫“无穷小分析”。

  两个无穷小的商求极限,既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。

  如果商的极限为1,则分子分母为等价无穷小。极限为0 ,分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数,分子分母为同阶无穷小。

  为了考试,要尽可能记住一些常用的等价无穷小。

  利用 Δy ~ d y (数学一,二用泰勒公式)生成等价无穷小 ——

·  当 f ′(x0)≠ 0 时 ,Δy ~ d y ,在原点计算Δy和d y ,得到常用的4个等价无穷小

·  sin x ~ x ; ln(1+x)~ x ;e xp(x)-1 ~ x  ;√(1+ x)-1 ~ x ∕ 2

·  最好再记住    1-cos x ~ x ∕ 2        (e xp(x)记以e为底的指数函数)

  等价无穷小的复合拓展 ——

  x→0 时,α (x)是无穷小,则 sin α (x) ~α (x) ; ln(1+α (x))~ α (x) ,……

·  标准阶无穷小与无穷小的阶 ——

  高等微积分中,把 x→0(或0+)时,幂函数  y = (x的次方) 称为 阶无穷小。与它同阶的无穷小,都是阶无穷小。于是,常用的1阶无穷小有, 

·   x , sin x  , tg x  , arcsin x  , arctg x  , e xp(x)-1

  常用的2 阶无穷小有  1- cos x 

  等价无穷小的差为高阶无穷小 ——

·  值得记一记的有(常见的三阶无穷小)  x sin x  ~  x   / 6  

·   x lnx(1+ x)~  x / 2    ,   exp(x)-(1 + x) ~ x/2! ,……

·  不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。(“多项式型无穷小”。)它与其中最低阶的那个无穷小同阶。

  比如            y = ln(1+x)+ 1-cos x  是1 阶无穷小

  再复杂一点,        5x sin x - cos x + 1 = 4x + (1- cos x )+ (x sin x ),是1阶无穷小

  由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”,或“无穷小的线性组合”,所以,“无穷小的和”,或“无穷小的.线性组合”,其阶数都是未定式。

  无穷小的积是高阶无穷小。        

  无穷小(在区间背景下)也是有界变量。所以,“无穷小与有界变量的积”是无穷小,但阶数是未定式。

  比如,   x→0 时, x + 3x  与 x 同为1阶。实际上,x + 3x = x(x+3),后因子极限非0

·  但 x sin(1/x)的阶数不能确定。

        在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——

  例1     x→∞, 求  lim x sin(2x/(x+1))

  分析   x→∞ 时,2x/(x+1)是无穷小,sin(2x /(x+1))~(2x /(x+1),可替换。

  例2       x→0 时,  求   lim (5x sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)

·  分析    原极限 = lim (4x + 1- cos x + x sin x) / (2x +x -lnx)

     分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”, 分子分母同除以(商式中的)最低阶的无穷小。                      原极限 = 2

   例3       x→0 时,  求   lim(1/ x)ln(sin x / x)

  

  分析(     数三学过幂级数)    sin x = x - x / 6 + ……

····

  ln(sin x / x)= ln(1— x / 6 + ……)~ —x / 6 ,可替换。

  无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小

·  怪例1        α = x sin(1/x)和β = x 都是无穷小,但是它们的商是震荡因子sin(1/x),没有极限。两个无穷小不能比较。

  更有意思的是,若 γ = x的k次方 ,则无论 k = 0.9,还是k = 0.99, k = 0.999,……,α总是比γ高阶的无穷小。

  怪例2       x → +∞ 时 ,  l i m (x的n次方)∕exp(x)= 0      即    l i m (x的n次方)exp(-x)= 0

  这表明:“x趋于 +∞ 时,指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

  或说,    x趋于 +∞ 时, exp(-x)是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。

  怪例3        x → +∞ 时 ,  lim  l n x ∕ (x的δ次方)= 0  

  其中,δ是任意取定的一个很小的正数。这表明: x 趋于 +∞ 时,“对数函数lnx总是比 x的δ次方 都还要低阶的无穷大。”或说,1 / l n x是“阶数任意小” 无穷小。

  无穷小的阶与级数,广义积分收敛性 ——

  判断级数,广义积分收敛性,首先判断绝对收敛性。

  如果用“无穷小量”的语言来说,则,“级数收敛的必要条件是,n → +∞时 ,级数的通项是无穷小量。”

  这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p ,   则p > 1时级数收敛,p≤1时级数发散。

       “已经判定”是重要前提。请看(并记住)怪例

          尽管1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小,但是,通项为 1 / n ln n 的级数也发散.然而,通项为 1 / n (ln n) 的级数收敛.你却不能确定其无穷小阶.

  *若n → +∞时 ,两个正项级数和的通项是同阶无穷小,则这两个级数或者都收敛,或者都发散。(这是极限形式的比较法的实质。)

  例  ∑ Un为正项级数,下列结论中正确的是______

··      (A)若n → +∞时 ,lim n Un=0 ,则∑ Un收敛。  

            (B)若∑ Un收敛,则n → +∞时 ,lim  n Un = 0

···(C)若存在非零常数λ,使得n → +∞时 ,lim n Un = λ,则级数 ∑ Un发散。

     (D)若级数∑ Un发散,则存在非零常数λ,使得lim n Un = λ 

·  分析  (A)错,条件虽然说明n → +∞时 ,Un是比1/n高阶的无穷小,但我们不能确定其阶数。

  答案为(C),它说明n → +∞时 ,Un是与1/n 同阶的无穷小。

  对于广义积分.有判断定理 ——

  若x→ +∞时 ,f(x)是(能够确定的)大于1阶的无穷小,则f(x)的无穷积分收敛。(能够确定的)

  若x→ b时,f(x)是(能够确定的)低于1阶的无穷大,且f(x)在[a,b]上只有这一个“暇点”,则f(x)在[a,b]上的暇积分收敛。

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