相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明

一、教材题目:P102,T1-T4

1.如图,在等边三角形ABC中, D,E,F分别是三边上的点,AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF相似吗?请证明你的结论。

2.已知:如图, ADDEAE??.求证:AB=AE。

ACABBC

3.已知:如图,在△ABC中,D是AC边上的一点,∠CBD的.平分线交AC于点E, 且AE=AB。

2求证:AE=AD·AC.

4.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动,速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似?

二、补充题目:部分题目来源于《点拨》

1.如图,BD,CE是△ABC的高,BD与CE交于点O,则图中相似三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对

(第1题)

(第2题)

2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,则下列比例式中,错误的是( )

A.AD2=BD·DC B.CD2=CF·CA

C.DE2=AE·BE D.AD2=AF·AC

5.如图,在△ABC中,BE和CD分别是边AC,AB上的高,求证:△ADE∽△ACB.

(第5题)

答案

教材

1.解:相似.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.又∵AE=BF=CD,∴AB-AE=BC-BF=AC-CD,即BE=FC=AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形.∴△ABC∽△DEF.

ADDEAE2.证明:在△ADE和△CAB中,∵=,∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形ACABCB相似).∴∠AED=∠B.∴AB=AE.

3.证明:∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABE,即∠EBC+∠C=∠ABD+∠DBE.又∵BE平分∠CBD,

ABAD2∴∠DBE=∠EBC.∴∠ABD=∠C.又∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB.∴=.∴AB=ACAB

AD·AC.∵AE=AB,

2∴AE=AD·AC.

4.解:设ts时△QBP与△ABC相似.此时AP=2t cm,BQ=4t cm,则PB=(8-2t)cm.①当

PBBQ8-2t4t△PBQ∽△ABC时,==,解得t=2,∴当运动2 s时,△QBP与△ABC相ABBC816

似;

PBBQ8-2t4t②当△QBP∽△ABC时,=,解得t=0.8,∴当运动0.8 s时,△QBP与BCAB168△ABC相似.

点拨

1.C 点拨:△ABD∽△ACE,△BOE∽△COD,△BOE∽△BAD,△COD∽△CAE,△BOE∽△CAE,△COD∽△BAD.

DAAF22.A 点拨:∵∠ADC=∠DFA=90°,∠DAF=∠DAC,∴△DAF∽△CAD.∴==CAAD

AF·CA.排除D选项.同理CD=CF·CA,DE=AE·BE,排除B,C选项,无法得到AD=BD·DC.故选A.

5.证明:∵BE,CD分别为边AC,AB上的高,∴∠AEB=∠ADC=90°.又∠A=∠A,

AEAB∴△AEB∽△ADC,∴.又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB. ADAC

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